Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Как складывать и вычитать дроби с разными знаками». Также Вы можете бесплатно проконсультироваться у юристов онлайн прямо на сайте.
Содержание:
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:
- Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
- Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
- Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.
Сложение и вычитание отрицательных дробей
В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:
- Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
- Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
- Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
- Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.
Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
- Сложение дробей с разными знаменателями.
Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
- Геометрия
- Информатика
- Математика
- Алгебра
- Алгебра и начала математического анализа
- Изобразительное искусство
- Музыка
- Испанский язык
- Английский язык
- Немецкий язык
- Французский язык
- Основы безопасности жизнедеятельности
- Физическая культура
- Русский язык
- Литература
- Литературное чтение
- История
- География
- Обществознание
- Экология
- Россия в мире
- Право
- Окружающий мир
- Экономика
- Технология (мальчики)
- Технология
- Технология (девочки)
Подробный конспект открытого урока математики в 6 классе по теме:
«Сложение и вычитание дробей с разными знаками».
Цели урока:
— образовательные: закрепление умений и навыков сложения и вычитания дробей с разными знаками, умения переносить свои знания в новую нестандартную ситуацию, владение математической терминологией;
— воспитательные: воспитание внимательности, активности и настойчивости в достижении цели, привитие навыков самостоятельной работы, формирование коммуникативной культуры и толерантности при работе в паре;
— развивающие: развитие творческой, речевой, мыслительной активности, используя различные формы работы, развитие навыка рефлексии;
— здоровьесберегающие: профилактика заболеваний позвоночника, органов зрения.
Тип урока: урок повторения и обобщения.
Используемые педагогические технологии, методы и приёмы: технологии развивающего обучения, ИТК, здоровьесберегающей технологии.
Организация учебной деятельности: фронтальная форма работы, работа в парах, индивидуальная работа.
Время реализации урока: 45 минут.
Необходимое оборудование и материалы: ноутбук, мультимедиапроектор, экран, доска.
Дидактическое обеспечение урока:
— раздаточный материал к уроку (рабочий лист);
— учебное методическое пособие «Учимся, играя» (авторы: А.В. Бобровская, О.И. Чикунова, Шадринск, 2010);
— дидактические материалы, 6 кл. ( авторы: Потапов М.К., Шевкин А.В., Просвещение, 2010);
— сигнальные карточки;
— смайлики.
Список учебной и дополнительной литературы: учебник «Математика» 6 кл., (автор С.М. Никольский, Москва. Просвещение, 2010).
Ход урока.
I. Организационный момент.
Цель: Эмоционально настроить обучающихся на активное и заинтересованное участие в образовательном процессе и на создание положительного психологического микроклимата.
Сообщение темы и постановки задачи.
На сегодняшнем уроке мы должны закрепить полученные знания при сложении и вычитании дробей с разными знаками и показать умения применять их при выполнении различных заданий. И девизом нашего урока, я думаю, должно стать высказывание «Складывать и вычитать мы научимся на «5»!».
II Актуализация знаний учащихся.
Цель: закрепление умений переносить свои знания в новую нестандартную ситуацию, развитие логического мышления, умения сравнивать, делать выводы.
Урок начинаем с устной работы, но сегодня она будет необычная, вы должны свои знания перенести в нестандартную ситуацию.
Задание №1.
К нам попал египетский свиток, на котором написаны числа и какие-то непонятные знаки. Необходимо определить эти знаки, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с разными знаками.
620↓320=920
↑920↓1020=120
620↑420=110
↑920↑120=↑1020
520↑320=220
↓-?
↑-?
Задание № 2.
Перед вами решённые задания: необходимо найти ошибку и аргументировать свой ответ.
1). -34-23=-57
2). 1723-х=823
х=2523=1223
3). -512-312= -812= -23
3. Закрепление изученного материала.
Задание №3.
Цель: проверить уровень усвоения правил действий сложения и вычитания дробей с разными знаками.
В ваших рабочих листах записаны примеры. Рядом с каждым примером написана буква. Здесь зашифровано имя математика Древней Индии. Кто этот математик? Ответить на этот вопрос вы можете, решив примеры, записав в таблицу ответы в порядке возрастания с соответствующими буквами. Какое имя вы получили? Вы получили имя индийского математика Брахмагупта.
4. Историческая справка.
Цель: знакомство с историческим материалом, с использованием презентации.
Индийский математик Брахмагупта ввёл в обиход отрицательные числа. Брахмагупта, кроме математики занимался ещё и астрономией. Он написал несколько научных трудов по математике и астрономии.
Задание№4.
Цели: систематизация и повторение ранее усвоенных знаний; закрепление умений и навыков владения математической терминологией; формирование коммуникативной культуры и толерантности при работе в паре.
При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится их общий знак.
Примеры:
(+3) + (+7) = 10,
(-3) + (-7) = -10.
Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.
При сложении двух целых чисел с разными знаками нужно взять их абсолютные величины и из большей вычесть меньшую, в результате ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.
Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:
Примеры:
(-4) + (+11) = 7, так как 11 — 4 = 7;
(-5) + (+2) = -3, так как 5 — 2 = 3.
Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
Примеры:
(-7) + 7 = 0,
(+12) + (-12) = 0.
Сложение и вычитание целых чисел
Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным.
Примеры:
(+6) — (+5) = (+6) + (-5) = 1,
(+6) — (-5) = (+6) + (+5) = 11,
(-6) — (-5) = (-6) + (+5) = -1,
(-6) — (+5) = (-6) + (-5) = -11.
Из данных примеров следует, что, чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
При решении выражений, содержащих и сложение, и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел.
Пример.
12 — 18 + 41 — 9.
Решение: Заменим вычитание на сложение:
12 + (-18) + 41 + (-9),
сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа:
(12 + 41) + ((-18) + (-9)) = 53 + (-27).
Теперь осталось только найти сумму двух получившихся результатов:
53 + (-27) = 26, значит 12 — 18 + 41 — 9 = 26.
1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
3. Равными называются такие a/b и c/d, если:
- a * d = b * c.
4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.
Свойства сложения
- От перестановки мест слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a.
- Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа: (a + b) + c = a + (b + c).
- Если к числу прибавить ноль, получится само число: a + 0 = 0 + a = a
- При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, результат от этого не изменится.
Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей.
Положительные и отрицательные числа можно трактовать как имущество и долг соответственно, при этом модули чисел показывают величину имущества и долга. Тогда сложение чисел с разными знаками можно рассматривать как сложение имущества и долга. При этом понятно, что если имущество меньше долга, то после взаимозачета останется долг, если имущество больше долга, то после взаимозачета останется имущество, а если имущество равно долгу, то после расчетов не останется ни долга, ни имущества.
Объединим приведенные выше рассуждения в правило сложения чисел с разными знаками. Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо:
- найти модули слагаемых;
- сравнить полученные числа, при этом
- если полученные числа равны, то исходные слагаемые являются противоположными числами, и их сумма равна нулю,
- если же полученные числа не равны, то надо запомнить знак числа, модуль которого больше;
- из большего модуля вычесть меньший;
- перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
- Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
- Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
- Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.
- Обобщить и систематизировать знаний учащихся по данной теме.
- Развивать предметные и общеучебные навыки и умения, умение использовать полученные знания для достижения поставленной цели; устанавливать закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний.
- Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; вырабатывать желания и потребности обобщать полученные факты; развивать самостоятельность, интерес к предмету.
- закрепить знания по темам: делимость чисел, обыкновенные дроби, отношения и пропорции, сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел,
- активизировать внимание на различных этапах урока;
- научиться взвешивать и доказывать альтернативные мнения, принимать продуманные решения, общаться друг с другом;
Озвученное правило сводит сложение чисел с разными знаками к вычитанию из большего положительного числа меньшего числа. Также понятно, что в результате сложения положительного и отрицательного числа может получиться или положительное число, или отрицательное число, или нуль.
Также заметим, что правило сложения чисел с разными знаками справедливо для целых чисел, для рациональных чисел и для действительных чисел.
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:
Разделы: Математика
Цели и задачи урока:
В результате этого урока учащиеся смогут:
Учебник: Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.– М: “Русское слово”, 2009 г.
I. Вступительное слово учителя.
Цели урока:
- научить складывать отрицательные числа, числа с разными знаками и противоположные числа;
- развитие познавательной активности, творческих способностей, умения оценивать друг друга;
- формирование умения самостоятельно мыслить.
- из большего модуля вычесть меньший;
- найти модули слагаемых;
- перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
- если же полученные числа не равны, то надо запомнить знак числа, модуль которого больше;
- сравнить полученные числа, при этом
- если полученные числа равны, то исходные слагаемые являются противоположными числами, и их сумма равна нулю,
- если же полученные числа не равны, то надо запомнить знак числа, модуль которого больше;
- если полученные числа равны, то исходные слагаемые являются противоположными числами, и их сумма равна нулю,
- Если «а» — положительное число, а «с» — отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
- Если «а» — отрицательное число, а «с» — положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а )– с = — а+ (-с).
- Правильные и неправильные. Неправильные дроби могут превращаться в смешанные, т.е. дроби, у которых есть целая и дробная часть. Правильными дробями называются дроби, у которых числитель меньше знаменателя.
- Обыкновенные и десятичные. В зависимости от знаменателя выделяют десятичные и обыкновенные дроби. Десятичные дроби имеют знаменатель кратный 10, при этом такая дробь должна быть записана в строку, иначе она считается обыкновенной.
- Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m – b/m = (k-b)/m.
- Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
- Число 15 состоит из 5 х 3.
- Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.
Ход урока
Устная работа: (приложение, слайд №2-4)
1. Как сложить две десятичные дроби?
(Сложение по разрядам, запятая — под запятой.)
2. Как сложить две обыкновенные дроби?
(- найти общий знаменатель;
— найти дополнительные множители;
3. Вычислить:
В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения.
Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.
Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби.
Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК. Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка.
Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма: Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно: Разложить эти числа на простые множители Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.
Сумма двух противоположных чисел равна нулю: (-7) + 7 = 0 Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным: (+6) — (+5) = (+6) + (-5) = 1 (+6) — (-5) = (+6) + (+5) = 11 (-6) — (-5) = (-6) + (+5) = -1 (-6) — (+5) = (-6) + (-5) = -11 Из данных примеров следует, что чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
При решении выражений, содержащих и сложение и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел.
Пример: 12 — 18 + 41 — 9 Заменим вычитание на сложение: 12 + (-18) + 41 + (-9) сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа: (12 + 41) + ((-18) + (-9)) = 53 + (-27) Теперь осталось только
Запятые обязательно выравниваем чётко друг под другом.
Правила сложения десятичных дробей: 1.
Если нужно, уравниваем количество знаков после запятой. Для этого добавляем нули к необходимой дроби. 2. Записываем дроби так, чтобы запятые находились друг под другом. 3. Складываем дроби, не обращая внимания на запятую. 4.
Ставим запятую в сумме под запятыми, дробей, которые складываем.
Обратите внимание! Когда у заданных десятичных дробей разное количество знаков (цифр) после запятой, то к дроби, у которой меньше десятичных знаков приписываем нужное количество нулей, для уравнения в дробях число знаков после запятой.
Разберёмся на примере. Найти сумму десятичных дробей: 0,678 + 13,7 = Уравниваем число знаков после запятой в десятичных дробях.
Выбираем большее из чисел и проверяем, делится ли оно на меньшее. 25 на 20 не делится. Умножаем 25 на 2.
50 на 20 не делится. Умножаем 25 на 3.
75 на 20 не делится. Умножаем 25 на 4. 100 на 20 делится. Значит, наименьший общий знаменатель равен 100.
2) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый.
Тогда сложение чисел с разными знаками можно рассматривать как сложение имущества и долга.
При этом понятно, что если имущество меньше долга, то после взаимозачета останется долг, если имущество больше долга, то после взаимозачета останется имущество, а если имущество равно долгу, то после расчетов не останется ни долга, ни имущества. Объединим приведенные выше рассуждения в правило сложения чисел с разными знаками.
Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо:
Теперь перейдем к решению главного вопроса: мы взяли для неизвестного слагаемого число + 3 и в сумме получился нуль, но нам надо получить в сумме число +8, поэтому надо чтобы и в другое слагаемое вошло это же число +8.
Следовательно, неизвестное слагаемое должно состоять: 1) из +3, чтобы в сумме получился нуль и 2) из +8, чтобы эту сумму «нуль» довести до требуемой +8. Поэтому на месте неизвестного слагаемого пишем + 3 + 8: (+ 8) – (– 3) = + 3 + 8 = + 11.
Последнее (= + 11) написано на том основании, что числа + 3 и + 8 надо соединить в одно или сложить.
Вот еще примеры: (– 7) – (+ 5) = – 5 – 7 = – 12. Искомое слагаемое должно состоять: 1) из –5, чтобы в сумме получился нуль и 2) из –7, чтобы дополнить этот нуль до требуемой суммы, до –7.
Сложив числа –5 и –7, получим –12.
Сложение дробей с разными знаками правило
При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:
Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:
где а, b и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.
Это равенство выражает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:
чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же
Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:
Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.
Определение. Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений:
| a | + | b | = | a + b |
| c | c | c |
Пример 1. Найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями:
| 1 | + | 2 | = | 1 + 2 | = | 3 |
| 5 | 5 | 5 | 5 |
Пример 2. Найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями:
| 3 | + | 2 | = | 3 + 2 | = | 5 |
| 7 | 7 | 7 | 7 |
Пример 3. Найти сумму двух дробей:
| 1 | + | 1 | = | 1·2 | + | 1 | = | 2 | + | 1 | = | 2 + 1 | = | 3 | = | 3 | = | 1 |
| 3 | 6 | 3·2 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3·2 | 2 |
Пример 4. Найти сумму двух дробей:
| 29 | + | 44 | = | 29·3 | + | 44·2 | = | 87 | + | 88 | = | 87 + 88 | = |
| 30 | 45 | 30·3 | 45·2 | 90 | 90 | 90 |
| = | 175 | = | 35·5 | = | 35 | = | 18 + 17 | = 1 | 17 |
| 90 | 18·5 | 18 | 18 | 18 |
Сложение и вычитание алгебраических дробей
Определение. Чтобы найти разницу двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений:
| a | — | b | = | a — b |
| c | c | c |
Пример 7. Найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями:
| 3 | — | 1 | = | 3 — 1 | = | 2 |
| 5 | 5 | 5 | 5 |
Пример 8. Найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями:
| 8 | — | 5 | = | 8 — 5 | = | 3 |
| 41 | 41 | 41 | 41 |
Пример 9. Найти разность двух дробей:
| 5 | — | 1 | = | 5 | — | 1·3 | = | 5 | — | 3 | = | 5 — 3 | = | 2 | = | 2 | = | 1 |
| 6 | 2 | 6 | 2·3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 2·3 | 3 |
Пример 10. Найти разность двух дробей:
| 3 | — | 1 | = | 3·3 | — | 1·5 | = | 9 | — | 5 | = | 9 — 5 | = | 4 | = | 2·2 | = | 2 |
| 10 | 6 | 10·3 | 6·5 | 30 | 30 | 30 | 30 | 15·2 | 15 |
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Цели урока: приобщение учащихся к разнообразным формам и методам изучения материала; воспитание любви к предмету; систематизация и обобщение знаний обучающихся по теме «Сложение и вычитан…
Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое — и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.
Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» — произвольного, то есть с любым знаком — отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:
Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками — к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби отнимается числитель второй дроби. Знаменатель при этом остается тем же.
a/c
–
b/c
=
a-b/c
Примечание: Следует проверить новую дробь, полученную путем вычитания. Возможно, ее можно сократить.
Задание 1
Найдите разность дробей 8/14
и
3/14
.
Решение
У данных дробей один и тот же знаменатель, следовательно:
8/14
–
3/14
=
8-3/14
=
5/14
Задание 2
Найдите разность дробей 6/7
и
9/20
.
Решение
Сперва приводим дроби к наименьшему общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное обоих знаменателей равняется 140. Значит, дополнительный множитель для первой дроби – 20, для второй – 7.
Перед тем, как преступить к рассмотрению сложения и вычитания дробей, нужно обратить внимание на тот факт, что дроби бывают разные, и в зависимости от вида дробей будет немного меняться и сам процесс сложения.
Виды дробей:
|
Чтобы выполнить сложение смешанных чисел, нужно: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части. |
Пример:
Доли. Обыкновенные дроби
Сравнение дробей
Делители и кратные
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Четные и нечетные числа
Признаки делимости на 9 и на 3
Простые и составные числа
Разложение на простые множители
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Деление и дроби
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Смешанное число
Сложение и вычитание смешанных чисел
Основное свойство дроби
Решето Эратосфена
Приведение дробей к общему знаменателю
Умножение обыкновенных дробей
Деление обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби
Дроби – это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:
Рассмотрим, как это выглядит на примере:
7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.
От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби – «19».
Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.
Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.
Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.
Рассмотрим это на примере: 4/18 – 3/15.
Находим кратное чисел 18 и 15:
После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.